Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ là hàm đa thức với hệ số thực. Hình vẽ bên dưới là một phần đồ thị của hai hàm số: ${y=f\left( x \right)}$ và ${y=f'\left( x \right)}$.
Tập các giá trị của tham số ${m}$ để phương trình ${f\left( x \right)=m{{e}^{x}}}$ có hai nghiệm phân biệt trên ${\left[ 0;2 \right]}$
A. ${\dfrac{f\left( 2 \right)}{{{e}^{2}}}\le m<0}$.
B. ${\dfrac{{f\left( 2 \right)}}{{{e^2}}} < m < 0}$
C. ${f\left( 0 \right)\le m<0}$.
D. ${f\left( 0 \right)\le m\le 0}$.
Tập các giá trị của tham số ${m}$ để phương trình ${f\left( x \right)=m{{e}^{x}}}$ có hai nghiệm phân biệt trên ${\left[ 0;2 \right]}$
A. ${\dfrac{f\left( 2 \right)}{{{e}^{2}}}\le m<0}$.
B. ${\dfrac{{f\left( 2 \right)}}{{{e^2}}} < m < 0}$
C. ${f\left( 0 \right)\le m<0}$.
D. ${f\left( 0 \right)\le m\le 0}$.
Nhận xét: Dựa vào đồ thị ta nhận xét đồ thị $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{1}} \right)$ còn đồ thị $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{2}} \right)$.
Thật vậy:giả sử $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{2}} \right)$ còn đồ thị $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{1}} \right)$ ta thấy điểm có hoành độ $x=0$ thuộc $\left( {{C}_{2}} \right)$ điểm đó thuộc đồ thị đang đi lên suy ra hàm số đồng biến có chứa $x=0$.Suy ra $f'\left( 0 \right)>0$ thay vào $\left( {{C}_{1}} \right)$ không thỏa mãn. Vậy điều giả sử là sai.
Ta có $f(x)=m{{e}^{x}}\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{{{e}^{x}}}=m$
Đặt $h(x)=\dfrac{f(x)}{{{e}^{x}}}$ ta có ${{h}^{\prime }}(x)=\dfrac{{{e}^{x}}\left( {{f}^{\prime }}(x)-f(x) \right)}{{{e}^{2x}}}$
cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f(x)={{f}^{\prime }}(x)$. Số nghiệm phương trình này là số giao điểm của 2 hai đồ thị
$y=f(x)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }y={{f}^{\prime }}(x)$
Dựa vào đồ thị trên $\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!$ suy ra phương trình $f(x)={{f}^{\prime }}(x)$ có nghiệm$\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
x=2 \\
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên.
Dựa vào đồ thị $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{1}} \right)$ ta có $f(0)=f(2)=-2\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }f(1)=0$
Dựa vào bảng biến thiên phương trình $\dfrac{f(x)}{{{e}^{x}}}=m$ có hai nghiệm phân biệt trên $\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!$ khi và chỉ khi $\dfrac{f(2)}{{{e}^{2}}}\le m<0$
Thật vậy:giả sử $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{2}} \right)$ còn đồ thị $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{1}} \right)$ ta thấy điểm có hoành độ $x=0$ thuộc $\left( {{C}_{2}} \right)$ điểm đó thuộc đồ thị đang đi lên suy ra hàm số đồng biến có chứa $x=0$.Suy ra $f'\left( 0 \right)>0$ thay vào $\left( {{C}_{1}} \right)$ không thỏa mãn. Vậy điều giả sử là sai.
Ta có $f(x)=m{{e}^{x}}\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{{{e}^{x}}}=m$
Đặt $h(x)=\dfrac{f(x)}{{{e}^{x}}}$ ta có ${{h}^{\prime }}(x)=\dfrac{{{e}^{x}}\left( {{f}^{\prime }}(x)-f(x) \right)}{{{e}^{2x}}}$
cho $h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f(x)={{f}^{\prime }}(x)$. Số nghiệm phương trình này là số giao điểm của 2 hai đồ thị
$y=f(x)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }y={{f}^{\prime }}(x)$
Dựa vào đồ thị trên $\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!$ suy ra phương trình $f(x)={{f}^{\prime }}(x)$ có nghiệm$\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1 \\
x=2 \\
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên.
Dựa vào đồ thị $y=f\left( x \right)$ là đường $\left( {{C}_{1}} \right)$ ta có $f(0)=f(2)=-2\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }f(1)=0$
Dựa vào bảng biến thiên phương trình $\dfrac{f(x)}{{{e}^{x}}}=m$ có hai nghiệm phân biệt trên $\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!$ khi và chỉ khi $\dfrac{f(2)}{{{e}^{2}}}\le m<0$
Đáp án A.