Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ không âm và liên tục trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$ Biết $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{{{e}^{x}}.\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}{f\left( x \right)}$ và $f\left( \ln 2 \right)=\sqrt{3},$ họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ${{e}^{2x}}.f\left( x \right)$ là
A. $\dfrac{2}{5}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{5}}}+\dfrac{2}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3}}}+C.$
B. $\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}^{3}}}-\sqrt{{{e}^{2x}}-1}+C$.
C. $\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}^{3}}}+C.$
D. $\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{3}}}+C.$
A. $\dfrac{2}{5}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{5}}}+\dfrac{2}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{3}}}+C.$
B. $\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}^{3}}}-\sqrt{{{e}^{2x}}-1}+C$.
C. $\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}^{3}}}+C.$
D. $\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{3}}}+C.$
Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{{{e}^{x}}.\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}{f\left( x \right)}\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right).f\left( x \right)}{\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}}={{e}^{x}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}={{e}^{x}}+C$
Vì $f\left( \ln 2 \right)=\sqrt{3}\Rightarrow C=0\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+1={{e}^{2x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{{{e}^{2x}}-1}$
$\Rightarrow I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{2x}}.f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{2x}}.\sqrt{{{e}^{2x}}-1}dx}$
$\Leftrightarrow I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{{}}^{{}}{\sqrt{{{e}^{2x}}-1}d\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}\Leftrightarrow I=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}^{3}}}+C$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)+1}={{e}^{x}}+C$
Vì $f\left( \ln 2 \right)=\sqrt{3}\Rightarrow C=0\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+1={{e}^{2x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\sqrt{{{e}^{2x}}-1}$
$\Rightarrow I=\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{2x}}.f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{{{e}^{2x}}.\sqrt{{{e}^{2x}}-1}dx}$
$\Leftrightarrow I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{{}}^{{}}{\sqrt{{{e}^{2x}}-1}d\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}\Leftrightarrow I=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( {{e}^{2x}}-1 \right)}^{3}}}+C$.
Đáp án C.