Google
Câu hỏi: . Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2x+m$ đúng với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right).$
B. $m\le f\left( 1 \right)-1.$
C. $m\ge f\left( 2 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( 1 \right)+1.$
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2x+m$ đúng với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right).$
B. $m\le f\left( 1 \right)-1.$
C. $m\ge f\left( 2 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( 1 \right)+1.$
Bất phương trình $\Leftrightarrow m<f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x=g\left( x \right)$ đúng với mọi $x\in \left( 1;2 \right)\left( * \right)$.
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x$ với $x\in \left( 1;2 \right)$ ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-2x+2={f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right)$.
Với $x\in \left( 1;2 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<0$ và $-2\left( x-1 \right)<0$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)$
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 2 \right)$.
Xét $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x$ với $x\in \left( 1;2 \right)$ ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-2x+2={f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right)$.
Với $x\in \left( 1;2 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<0$ và $-2\left( x-1 \right)<0$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0\left( \forall x\in \left( 1;2 \right) \right)$
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 1;2 \right)$
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 2 \right)$.
Đáp án A.