Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $f\left( x \right)<m-{{e}^{-x}}$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$
B. $m>f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$
C. $m>f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$
D. $m\ge f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$
Bất phương trình $f\left( x \right)<m-{{e}^{-x}}$ đúng với mọi $x\in \left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$
B. $m>f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$
C. $m>f\left( 2 \right)+\dfrac{1}{{{e}^{2}}}$
D. $m\ge f\left( -2 \right)+{{e}^{2}}$
Ta có: $f(x)<m-{{e}^{-x}} , \forall x\in \left( -2;2 \right)\Leftrightarrow f(x)+{{e}^{-x}}<m \forall x\in \left( -2;2 \right)\text{ (*)}$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)+{{e}^{-x}}$
Ta có: ${g}'(x)={f}'(x)-{{e}^{-x}}$.
Ta thấy với $\forall x\in \left( -2;2 \right)$ thì ${f}'(x)<0$, $-{{e}^{-x}}<0$ nên ${g}'(x)={f}'(x)-{{e}^{-x}}<0$, $\forall x\in \left( -2;2 \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $m\ge g(-2)\Leftrightarrow m\ge f(-2)+{{e}^{2}}$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)+{{e}^{-x}}$
Ta có: ${g}'(x)={f}'(x)-{{e}^{-x}}$.
Ta thấy với $\forall x\in \left( -2;2 \right)$ thì ${f}'(x)<0$, $-{{e}^{-x}}<0$ nên ${g}'(x)={f}'(x)-{{e}^{-x}}<0$, $\forall x\in \left( -2;2 \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $m\ge g(-2)\Leftrightarrow m\ge f(-2)+{{e}^{2}}$.
Đáp án D.