Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y=f\left( 2-{{e}^{x}} \right)$ đồng biến trên khoảng
A. $\left( 2;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;1 \right)$.
C. $\left( 0;\ln 3 \right)$.
D. $\left( 1;4 \right)$.
A. $\left( 2;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;1 \right)$.
C. $\left( 0;\ln 3 \right)$.
D. $\left( 1;4 \right)$.
Ta có : $y=f\left( 2-{{e}^{x}} \right)\Rightarrow {y}'=-{{e}^{x}}.{f}'\left( 2-{{e}^{x}} \right)$. Xét ${y}'=-{{e}^{x}}.{f}'\left( 2-{{e}^{x}} \right)>0$
$\Leftrightarrow {f}'\left( 2-{{e}^{x}} \right)<0$ (do ${{e}^{x}}>0\forall x\in \mathbb{R}$ ). Mà ${f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x<-1$ hoặc $1<x<4$ nên ${f}'\left( 2-{{e}^{x}} \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-{{e}^{x}}<-1 \\
& 1<2-{{e}^{x}}<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}>3 \\
& -2<{{e}^{x}}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>\ln 3 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra hàm số đồng biến trên $ \left( -\infty ;0 \right) $ và $ \left( \ln 3;+\infty \right) $. Do đó hàm số đồng biến trên $ \left( 2;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow {f}'\left( 2-{{e}^{x}} \right)<0$ (do ${{e}^{x}}>0\forall x\in \mathbb{R}$ ). Mà ${f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x<-1$ hoặc $1<x<4$ nên ${f}'\left( 2-{{e}^{x}} \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2-{{e}^{x}}<-1 \\
& 1<2-{{e}^{x}}<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{x}}>3 \\
& -2<{{e}^{x}}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>\ln 3 \\
& x<0 \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra hàm số đồng biến trên $ \left( -\infty ;0 \right) $ và $ \left( \ln 3;+\infty \right) $. Do đó hàm số đồng biến trên $ \left( 2;+\infty \right)$.
Đáp án A.