Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Biết $f\left( -1 \right)=1,f\left( -\dfrac{1}{e} \right)=2.$ Bất phương trình $f\left( x \right)<\ln \left( -x \right)+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>2.$
B. $m\ge 2.$
C. $m>3.$
D. $m\ge 3.$
A. $m>2.$
B. $m\ge 2.$
C. $m>3.$
D. $m\ge 3.$
Bất phương trình $m>f\left( x \right)-\ln \left( -x \right)$ đúng với mọi $x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right)$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\ln \left( -x \right).$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\dfrac{1}{x}.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right) \\
& -\dfrac{1}{x}>0,\forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{{}}{g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right).$
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;-\dfrac{1}{e} \right)$ và liên tục trên $\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$ nên $\underset{\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( -\dfrac{1}{e} \right)=3.$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$ với $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\ln \left( -x \right).$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\dfrac{1}{x}.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right) \\
& -\dfrac{1}{x}>0,\forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[{}]{{}}{g}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;-\dfrac{1}{e} \right).$
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;-\dfrac{1}{e} \right)$ và liên tục trên $\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]$ nên $\underset{\left[ -1;-\dfrac{1}{e} \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( -\dfrac{1}{e} \right)=3.$
Đáp án D.