Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$...

Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( 2x \right)-2\sin x\cos x=2{f}'\left( 2x \right)-\sin 2x$
Đặt $t=2x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{f}'\left( t \right)-\sin t$ với $x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right]$
Với $x\in \left[ -1;0 \right]\Rightarrow t\in \left[ -2;0 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{f}'\left( x \right)\ge 0 \\
& \sin t\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0$
Với $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{f}'\left( x \right)\le 0 \\
& \sin t\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)\le 0$
Do đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ -1;0 \right]$ và nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)$.