Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x+2 \right)<x{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( 1 \right)+\dfrac{1}{e}.$
B. $m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{1}{e}.$
C. $m>f\left( 3 \right)-e.$
D. $m\ge f\left( 3 \right)-e.$
Bất phương trình $f\left( x+2 \right)<x{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( 1 \right)+\dfrac{1}{e}.$
B. $m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{1}{e}.$
C. $m>f\left( 3 \right)-e.$
D. $m\ge f\left( 3 \right)-e.$
Xét hàm số: $g\left( x \right)=f\left( x+2 \right)-x{{e}^{x}},x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x+2 \right)-\left( x+1 \right){{e}^{x}}$.
Với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $x+2\in \left( 1;3 \right)\Rightarrow f'\left( x+2 \right)<-1\Rightarrow f'\left( x+2 \right)<0$.
Với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $-\left( x+1 \right){{e}^{x}}<0\Rightarrow g'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$.
Khi đó $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( -1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{1}{e}$.
Với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $x+2\in \left( 1;3 \right)\Rightarrow f'\left( x+2 \right)<-1\Rightarrow f'\left( x+2 \right)<0$.
Với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $-\left( x+1 \right){{e}^{x}}<0\Rightarrow g'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$.
Khi đó $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( -1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{1}{e}$.
Đáp án B.