Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình $3f\left( x \right)+{{x}^{3}}<a-3x\ln x$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$ khi và chỉ khi
A. $a>3f\left( 1 \right)+1.$
B. $a\ge 3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2.$
C. $a\ge 3f\left( 1 \right)+1.$
D. $a>3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2.$
A. $a>3f\left( 1 \right)+1.$
B. $a\ge 3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2.$
C. $a\ge 3f\left( 1 \right)+1.$
D. $a>3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2.$
Ta có: $3f\left( x \right)+{{x}^{3}}<a-3\text{x}\ln \text{x}\Leftrightarrow a>3f\left( x \right)+{{x}^{3}}+3\text{x}\ln \text{x}=g\left( x \right)$
Bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow a>\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$ chú ý điều kiện có nghiệm khác với điều kiện với mọi x).
Ta có: ${g}'\left( x \right)=3{f}'\left( x \right)+3{{\text{x}}^{2}}+3\ln \text{x}+3\text{x}.\dfrac{1}{x}=3\left[ {f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln \text{x}+1 \right]$.
Mặt khác trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \ln \text{x}>0 \\
& {{x}^{2}}+1\ge 2 \\
& {f}'\left( x \right)\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3\left[ {f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln \text{x}+1 \right]>0\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$, do đó giả thiết bài toán $\Leftrightarrow a>g\left( 1 \right)=3f\left( 1 \right)+1$.
Bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]\Leftrightarrow a>\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$ chú ý điều kiện có nghiệm khác với điều kiện với mọi x).
Ta có: ${g}'\left( x \right)=3{f}'\left( x \right)+3{{\text{x}}^{2}}+3\ln \text{x}+3\text{x}.\dfrac{1}{x}=3\left[ {f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln \text{x}+1 \right]$.
Mặt khác trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \ln \text{x}>0 \\
& {{x}^{2}}+1\ge 2 \\
& {f}'\left( x \right)\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=3\left[ {f}'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln \text{x}+1 \right]>0\left( \forall x\in \left[ 1;2 \right] \right)$.
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$, do đó giả thiết bài toán $\Leftrightarrow a>g\left( 1 \right)=3f\left( 1 \right)+1$.
Đáp án A.