Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1; 1 \right)$ khi và chỉ khi:
A. $m>f\left( 1 \right)-2$.
B. $m\le f\left( 1 \right)-2$.
C. $m\le f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
D. $m>f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1; 1 \right)$ khi và chỉ khi:
A. $m>f\left( 1 \right)-2$.
B. $m\le f\left( 1 \right)-2$.
C. $m\le f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
D. $m>f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
$f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m$, $\forall x\in \left( -1; 1 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)-{{2}^{x}}>m$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)-{{2}^{x}}>m$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{x}}$ trên $\left( -1; 1 \right)$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2$.
Ta thấy: $\forall x\in \left( -1; 1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)\le 0$ và ${{2}^{x}}.\ln 2>0$.
Do đó ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2<0$, $\forall x\in \left( -1; 1 \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có: $m\le g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 1 \right)-2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{x}}$ trên $\left( -1; 1 \right)$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2$.
Ta thấy: $\forall x\in \left( -1; 1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)\le 0$ và ${{2}^{x}}.\ln 2>0$.
Do đó ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2<0$, $\forall x\in \left( -1; 1 \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có: $m\le g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 1 \right)-2$.
Đáp án B.