Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<f\left( 1 \right)-2.$
B. $m\le f\left( 1 \right)-2.$
C. $m\le f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
D. $m<\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{x}}+m$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<f\left( 1 \right)-2.$
B. $m\le f\left( 1 \right)-2.$
C. $m\le f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
D. $m<\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{x}},x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{x}}\ln 2.$
Với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<0\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)\Rightarrow g\left( x \right)<g\left( -1 \right)=f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
Khi đó $m<g\left( x \right)$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
Với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<0\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)\Rightarrow g\left( x \right)<g\left( -1 \right)=f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
Khi đó $m<g\left( x \right)$ có nghiệm với mọi $x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{2}.$
Đáp án C.