Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau.
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{\cos x}}+3m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<\dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
B. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
C. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
D. $m<K\dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{\cos x}}+3m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<\dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
B. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
C. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
D. $m<K\dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
Ta có: $f\left( x \right)>{{2}^{\cos x}}+3m\Leftrightarrow g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{\cos x}}>3m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
$\Leftrightarrow \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)>3m$ (*)
Lại có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{\cos x}}.\left( -\sin x \right).\ln 2={f}'\left( x \right)+\sin x{{.2}^{\cos x}}.\ln 2$
Với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \sin x>0 \\
& {f}'\left( x \right)\in \left( 1;6 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0\Rightarrow g\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Suy ra $3m\le g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-{{2}^{\cos 0}}=f\left( 0 \right)-2\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$.
$\Leftrightarrow \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)>3m$ (*)
Lại có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{2}^{\cos x}}.\left( -\sin x \right).\ln 2={f}'\left( x \right)+\sin x{{.2}^{\cos x}}.\ln 2$
Với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \sin x>0 \\
& {f}'\left( x \right)\in \left( 1;6 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0\Rightarrow g\left( x \right) $ đồng biến trên khoảng $ \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Suy ra $3m\le g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-{{2}^{\cos 0}}=f\left( 0 \right)-2\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$.
Đáp án C.