Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên:
Bất phương trình $f\left( x \right)<3{{\text{e}}^{x+2}}+m$ có nghiệm trên $\left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( -2 \right)-3$
B. $m>f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$
C. $m\ge f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$
D. $m>f\left( -2 \right)-3$
Bất phương trình $f\left( x \right)<3{{\text{e}}^{x+2}}+m$ có nghiệm trên $\left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( -2 \right)-3$
B. $m>f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$
C. $m\ge f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$
D. $m>f\left( -2 \right)-3$
Bài toán tương đương với: $m>f\left( x \right)-3{{\text{e}}^{x+2}}$ có nghiệm trên $\left( -2;2 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-3{{e}^{x+2}}$ trên $\left( -2;2 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right)$ có nghiệm trên $\left( -2;2 \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-3{{\text{e}}^{x+2}}$.
Nhận xét: $x\in \left( -2;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<{f}'\left( x \right)<3 \\
& -3{{\text{e}}^{4}}<-3{{\text{e}}^{x+2}}<-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Do đó ta có $\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$.
Vậy $m>f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-3{{e}^{x+2}}$ trên $\left( -2;2 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right)$ có nghiệm trên $\left( -2;2 \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-3{{\text{e}}^{x+2}}$.
Nhận xét: $x\in \left( -2;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<{f}'\left( x \right)<3 \\
& -3{{\text{e}}^{4}}<-3{{\text{e}}^{x+2}}<-3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Do đó ta có $\Leftrightarrow m>\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$.
Vậy $m>f\left( 2 \right)-3{{\text{e}}^{4}}$.
Đáp án B.