Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Bất phương trình $f\left( 1-x \right)<{{e}^{x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( -1 \right)-{{e}^{2}}$.
B. $m>f\left( 1 \right)-1$.
C. $m\ge f\left( 1 \right)-1$.
D. $m\ge f\left( -1 \right)-{{e}^{2}}$.
Bất phương trình $f\left( 1-x \right)<{{e}^{x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>f\left( -1 \right)-{{e}^{2}}$.
B. $m>f\left( 1 \right)-1$.
C. $m\ge f\left( 1 \right)-1$.
D. $m\ge f\left( -1 \right)-{{e}^{2}}$.
Bất phương trình đã cho tương đương với: $m>f\left( 1-x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}}$ trên $\left( -1;1 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 1-x \right)-2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}=-\left[ {f}'\left( 1-x \right)+2x.{{e}^{{{x}^{2}}}} \right]=0$.
TH1: $x\in \left( -1;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<1-x<2\Rightarrow {f}'\left( 1-x \right)<0 \\
& 2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$.
TH2: $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1-x \right)=0 \\
& 2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0$.
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
TH3: $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<1-x<1\Rightarrow {f}'\left( 1-x \right)>0 \\
& 2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;1 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $m>\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)-1$.
Vậy $m>f\left( 1 \right)-1$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}}}$ trên $\left( -1;1 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 1-x \right)-2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}=-\left[ {f}'\left( 1-x \right)+2x.{{e}^{{{x}^{2}}}} \right]=0$.
TH1: $x\in \left( -1;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<1-x<2\Rightarrow {f}'\left( 1-x \right)<0 \\
& 2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$.
TH2: $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( 1-x \right)=0 \\
& 2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0$.
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
TH3: $x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<1-x<1\Rightarrow {f}'\left( 1-x \right)>0 \\
& 2x.{{e}^{{{x}^{2}}}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;1 \right)$
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $m>\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)-1$.
Vậy $m>f\left( 1 \right)-1$.
Đáp án B.