Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên:
Bất phương trình $f\left( \sin x \right)<-3x+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
B. $m>f\left( -1 \right)-\dfrac{3\pi }{2}.$
C. $m>f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
D. $m>f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
Bất phương trình $f\left( \sin x \right)<-3x+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
B. $m>f\left( -1 \right)-\dfrac{3\pi }{2}.$
C. $m>f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
D. $m>f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
Bất phương trình đã cho tương đương với $m>f\left( \sin x \right)+3x,\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sin x \right)+3x$ trên $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).$
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).}{\mathop{\max }} g\left( x \right).$
Ta có ${g}'\left( x \right)=\cos x.{f}'\left( \sin x \right)+3.$
Nhận xét:
Với $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<\cos x\le 1 \\
& -1<\sin x<1\Rightarrow -3<{f}'\left( \sin x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0.$
Do đó ta có $m\ge \underset{\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=f\left( \sin \dfrac{\pi }{2} \right)+3.\dfrac{\pi }{2}=f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
Vậy $m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sin x \right)+3x$ trên $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).$
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).}{\mathop{\max }} g\left( x \right).$
Ta có ${g}'\left( x \right)=\cos x.{f}'\left( \sin x \right)+3.$
Nhận xét:
Với $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<\cos x\le 1 \\
& -1<\sin x<1\Rightarrow -3<{f}'\left( \sin x \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0.$
Do đó ta có $m\ge \underset{\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right).}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=f\left( \sin \dfrac{\pi }{2} \right)+3.\dfrac{\pi }{2}=f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
Vậy $m\ge f\left( 1 \right)+\dfrac{3\pi }{2}.$
Đáp án A.