Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{\cos x}}+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi.
A. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
B. $m<\dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
C. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
D. $m<\dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{2}^{\cos x}}+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi.
A. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
B. $m<\dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
C. $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
D. $m<\dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $3m<f\left( x \right)-{{2}^{\cos x}},\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{\cos x}}$ trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $3m<g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow 3m\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{2}^{\cos x}}.sinx.ln2$
Nhận xét: Với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<{f}'\left( x \right)<6 \\
& 0<{{2}^{\cos x}}.\sin x.\ln 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$
Do đó ta có $3m\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-{{2}^{\cos 0}}=f\left( 0 \right)-2$
Vậy $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{2}^{\cos x}}$ trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $3m<g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow 3m\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+{{2}^{\cos x}}.sinx.ln2$
Nhận xét: Với $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1<{f}'\left( x \right)<6 \\
& 0<{{2}^{\cos x}}.\sin x.\ln 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$
Do đó ta có $3m\le \underset{\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)-{{2}^{\cos 0}}=f\left( 0 \right)-2$
Vậy $m\le \dfrac{1}{3}\left[ f\left( 0 \right)-2 \right]$
Đáp án A.