Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2\text{x}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)$
B. $m<f\left( 1 \right)-1$
C. $m\ge f\left( 2 \right)-1$
D. $m\ge f\left( 1 \right)+1$
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{x}^{2}}-2\text{x}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)$
B. $m<f\left( 1 \right)-1$
C. $m\ge f\left( 2 \right)-1$
D. $m\ge f\left( 1 \right)+1$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $m<f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2\text{x},\forall x\in \left( 1;2 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2\text{x}$ trên $\left( 1;2 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right)$.
Nhận xét: Với $x\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& -2\left( x-1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Do đó ta có $m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-{{2}^{2}}+2.2=f\left( 2 \right)$.
Vậy $m\le f\left( 2 \right)$.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 1;2 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{x}^{2}}+2\text{x}$ trên $\left( 1;2 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-2\left( x-1 \right)$.
Nhận xét: Với $x\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& -2\left( x-1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Do đó ta có $m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-{{2}^{2}}+2.2=f\left( 2 \right)$.
Vậy $m\le f\left( 2 \right)$.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 1;2 \right)$.
Đáp án A.