Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{36}-\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}>m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<\dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}.$
B. $m\le \dfrac{f\left( 1 \right)+9}{36}.$.
C. $m\le \dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}.$
D. $m<\dfrac{f\left( 1 \right)+36}{9}.$
Bất phương trình $\dfrac{f\left( x \right)}{36}-\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}>m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<\dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}.$
B. $m\le \dfrac{f\left( 1 \right)+9}{36}.$.
C. $m\le \dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}.$
D. $m<\dfrac{f\left( 1 \right)+36}{9}.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{36}-\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}.$
Hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ có:
$g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right)}{36}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}{{\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \left( 0;1 \right)$
(Vì $f'\left( x \right)>0, \forall x\in \left( 0;1 \right)$ )
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right), \forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)>\dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}, \forall x\in \left( 0;1 \right).$
Do đó $g\left( x \right)>m, \forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}.$.
Hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}$ có:
$g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right)}{36}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}{{\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}^{2}}}>0, \forall x\in \left( 0;1 \right)$
(Vì $f'\left( x \right)>0, \forall x\in \left( 0;1 \right)$ )
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right), \forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)>\dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}, \forall x\in \left( 0;1 \right).$
Do đó $g\left( x \right)>m, \forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{f\left( 0 \right)}{36}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+2}.$.
Đáp án C.