Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)-e.$
B. $m>f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
D. $m>f\left( 1 \right)-e.$
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 1 \right)-e.$
B. $m>f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
D. $m>f\left( 1 \right)-e.$
Hướng Dẫn. Ta có: $f(x)<{{e}^{x}}+m,\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow f(x)-{{e}^{x}}<m \forall x\in \left( -1;1 \right)\text{ }\left( * \right)$
Xét hàm số $g(x)=f(x)-{{e}^{x}}.$ Ta có: $g'(x)=f'(x)-{{e}^{x}}.$ Ta thấy với $\forall x\in \left( -1;1 \right)$ thì $f'(x)<0$ và $-{{e}^{x}}<0$ nên $g'(x)=f'(x)-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có $m\ge g\left( -1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Xét hàm số $g(x)=f(x)-{{e}^{x}}.$ Ta có: $g'(x)=f'(x)-{{e}^{x}}.$ Ta thấy với $\forall x\in \left( -1;1 \right)$ thì $f'(x)<0$ và $-{{e}^{x}}<0$ nên $g'(x)=f'(x)-{{e}^{x}}<0,\forall x\in \left( -1;1 \right).$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có $m\ge g\left( -1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( -1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Đáp án C.