Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình $3f\left( x \right)+{{x}^{3}}\ge a-3x\ln x$ nghiệm đúng với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$ khi và chỉ khi
A. $a\ge 3f\left( 1 \right)+1$.
B. $a>3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2$.
C. $a\le 3f\left( 1 \right)+1$.
D. $a\le 3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2$.
Bất phương trình $3f\left( x \right)+{{x}^{3}}\ge a-3x\ln x$ nghiệm đúng với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
$\Leftrightarrow a\le 3f\left( x \right)+{{x}^{2}}+3x\ln x$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
$\Leftrightarrow a\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right),\text{ }g\left( x \right)=3f\left( x \right)+{{x}^{3}}+3x\ln x$
$g'\left( x \right)=3f'\left( x \right)+3{{x}^{2}}+3\ln x+3=3\left( f'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln x+1 \right)$
Từ đồ thị của hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta có $-2\le {f}'\left( x \right)\le -1$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
mà ${{x}^{2}}+\ln x+1\ge 2$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$ (do ${{x}^{2}}+\ln x+1$ luôn tăng trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ )
Suy ra $g'\left( x \right)=3\left( f'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln x+1 \right)\ge 0$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
Vậy $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=3f\left( 1 \right)+1$ hay $a\le 3f\left( 1 \right)+1$.
A. $a\ge 3f\left( 1 \right)+1$.
B. $a>3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2$.
C. $a\le 3f\left( 1 \right)+1$.
D. $a\le 3f\left( 2 \right)+8+6\ln 2$.
Bất phương trình $3f\left( x \right)+{{x}^{3}}\ge a-3x\ln x$ nghiệm đúng với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
$\Leftrightarrow a\le 3f\left( x \right)+{{x}^{2}}+3x\ln x$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
$\Leftrightarrow a\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right),\text{ }g\left( x \right)=3f\left( x \right)+{{x}^{3}}+3x\ln x$
$g'\left( x \right)=3f'\left( x \right)+3{{x}^{2}}+3\ln x+3=3\left( f'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln x+1 \right)$
Từ đồ thị của hàm số $y=f'\left( x \right)$ ta có $-2\le {f}'\left( x \right)\le -1$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
mà ${{x}^{2}}+\ln x+1\ge 2$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$ (do ${{x}^{2}}+\ln x+1$ luôn tăng trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ )
Suy ra $g'\left( x \right)=3\left( f'\left( x \right)+{{x}^{2}}+\ln x+1 \right)\ge 0$ với mọi $~x$ thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$
Vậy $\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=3f\left( 1 \right)+1$ hay $a\le 3f\left( 1 \right)+1$.
Đáp án C.