Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có...

Bất phương trình đã cho tương đương với: $m<f\left( x \right)-{{2}^{x}},\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)={{2}^{x}}$ trên $\left( -1;1 \right)$
Bài toàn trở thành tìm m để $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\!\![\!\!-1;1]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{2}^{x}}.\ln 2$
Nhận xét: Với $x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<f'\left( x \right)<0 \\
& -{{2}^{x}}.\ln 2<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)<0$
Do đó ta có $m\le \underset{\!\![\!\!-1;1]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-{{2}^{1}}=f\left( 1 \right)-2$
Vậy $m\le f\left( 1 \right)-2$