Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi chỉ khi
A. $m>f\left( 0 \right)-1.$
B. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( 0 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi chỉ khi
A. $m>f\left( 0 \right)-1.$
B. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( 0 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Bất phương trình đã cho tương đương với: $m>f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}-2x}},\forall x\in \left( 0;2 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}$ trên $\left( 0;2 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$.
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}=0$.
TH1: $x\in \left( 0;1 \right),$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>0 \\
& 0<-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0$.
TH2: $x=1,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& -2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)=0$.
Suy ra $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1.$
TH3: $x\in \left( 1;2 \right),$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)<0 \\
& -2<-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)<0$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;2 \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m>\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}$.
Vậy $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}$ trên $\left( 0;2 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$.
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}=0$.
TH1: $x\in \left( 0;1 \right),$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>0 \\
& 0<-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}<2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0$.
TH2: $x=1,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& -2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)=0$.
Suy ra $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1.$
TH3: $x\in \left( 1;2 \right),$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)<0 \\
& -2<-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)<0$
Ta có bảng biến thiên của hàm $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;2 \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m>\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}$.
Vậy $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}$.
Đáp án B.