Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{\sin }^{2}}x+3m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge \dfrac{1}{3}.\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
B. $m\ge \dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)-\dfrac{1}{6}$
C. $m\ge \dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)$
D. $m>\dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{\sin }^{2}}x+3m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge \dfrac{1}{3}.\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
B. $m\ge \dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)-\dfrac{1}{6}$
C. $m\ge \dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)$
D. $m>\dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right]$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{\sin }^{2}}x-3m$ trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right).$
Do trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right),1<f'\left( x \right)<6$ nên $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-\sin 2x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Như vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ và $g\left( x \right)<g\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1-3m$
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{\sin }^{2}}x+3m,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi $g\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Hay $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1-3m\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right].$
Do trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right),1<f'\left( x \right)<6$ nên $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-\sin 2x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Như vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ và $g\left( x \right)<g\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1-3m$
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{\sin }^{2}}x+3m,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi $g\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
Hay $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1-3m\le 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{3}\left[ f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)-1 \right].$
Đáp án A.