Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y = f\left( x \right),}$ hàm số ${f'\left( x \right)}$ liên tục trên ${\mathbb{R}}$ và có đồ thị như hình vẽ sau
Bất phương trình ${f\left( x \right) < x + m}$ có nghiệm ${x \in \left( {0;2} \right]}$ khi và chỉ khi
A. ${m \ge f\left( 2 \right) - 2.}$
B. ${m \le f\left( 0 \right).}$
C. ${m > f\left( 2 \right) - 2.}$
D. ${m < f\left( 0 \right).}$
Bất phương trình ${f\left( x \right) < x + m}$ có nghiệm ${x \in \left( {0;2} \right]}$ khi và chỉ khi
A. ${m \ge f\left( 2 \right) - 2.}$
B. ${m \le f\left( 0 \right).}$
C. ${m > f\left( 2 \right) - 2.}$
D. ${m < f\left( 0 \right).}$
Có $f\left( x \right)<x+m\Leftrightarrow m>f\left( x \right)-x$. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ T trên (0; 2].
Có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-1<0,\forall x\in \left( 0;2 \right].$ Khi đó hàm số $g\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left( 2 \right)-2\le g\left( x \right)f\left( 0 \right),\forall x\in \left( 0;2 \right].$
Khi đó $m>g\left( x \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0;2 \right]\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\Leftrightarrow m>f\left( 2 \right)-2.$
(0:2)
Có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-1<0,\forall x\in \left( 0;2 \right].$ Khi đó hàm số $g\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau
Dựa vào bảng biến thiên ta có $f\left( 2 \right)-2\le g\left( x \right)f\left( 0 \right),\forall x\in \left( 0;2 \right].$
Khi đó $m>g\left( x \right)$ có nghiệm $x\in \left( 0;2 \right]\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\Leftrightarrow m>f\left( 2 \right)-2.$
(0:2)
Đáp án C.