Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ; $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}$ và ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right).f\left( x \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614$
B. $2614<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2615$
C. $2618<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2619$
D. $2616<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2617$
A. $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614$
B. $2614<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2615$
C. $2618<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2619$
D. $2616<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2617$
Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Mặt khác $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên
${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right).f\left( x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\sqrt{\left( x+1 \right).f\left( x \right)},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=\sqrt{\left( x+1 \right)},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}d\text{x}}=\int{\sqrt{x+1}d\text{x}}\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+C$.
Từ $f\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}$ suy ra $C=\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3}$.
Như vậy $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}$.
Do đó $f\left( 8 \right)={{\left( \dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( 8+1 \right)}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}={{\left( 9+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 8 \right)={{\left( 9+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{4}}\approx 2613,26$.
Mặt khác $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên
${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right).f\left( x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\sqrt{\left( x+1 \right).f\left( x \right)},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=\sqrt{\left( x+1 \right)},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}d\text{x}}=\int{\sqrt{x+1}d\text{x}}\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+C$.
Từ $f\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}$ suy ra $C=\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3}$.
Như vậy $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}$.
Do đó $f\left( 8 \right)={{\left( \dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( 8+1 \right)}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}={{\left( 9+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{2}}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 8 \right)={{\left( 9+\sqrt{\dfrac{2}{3}}-\dfrac{8}{3} \right)}^{4}}\approx 2613,26$.
Đáp án A.