Cho hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x)

đồng biến trên

(0; + \infty)

;

y = f (x)

liên tục, nhận giá trị dương trên

(0; + \infty)

và thỏa mãn

f (3) = \frac{2}{3}

và

{[f^{'} (x)]}^{2} = (x + 1) . f (x)

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

2613 < f^{2} (8) < 2614

B.

2614 < f^{2} (8) < 2615

C.

2618 < f^{2} (8) < 2619

D.

2616 < f^{2} (8) < 2617

Hàm số

y = f (x)

đồng biến trên

(0; + \infty)

nên

f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (0; + \infty)

.
Mặt khác

y = f (x)

liên tục, nhận giá trị dương trên

(0; + \infty)

nên

{[f^{'} (x)]}^{2} = (x + 1) . f (x) \Rightarrow f^{'} (x) = \sqrt{(x + 1) . f (x)}, \forall x \in (0; + \infty)

\Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} = \sqrt{(x + 1)}, \forall x \in (0; + \infty)

\Rightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int \sqrt{x + 1} d x \Rightarrow \sqrt{f (x)} = \frac{1}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + C

.
Từ

f (3) = \frac{2}{3}

suy ra

C = \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{8}{3}

.
Như vậy

f (x) = {(\frac{1}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{8}{3})}^{2}

.
Do đó

f (8) = {(\frac{1}{3} \sqrt{{(8 + 1)}^{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{8}{3})}^{2} = {(9 + \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{8}{3})}^{2} \Rightarrow f^{2} (8) = {(9 + \sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{8}{3})}^{4} \approx 2613, 26

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x) đồng biến trên $\left( 0;+\infty...