Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y={{f}^{'}}\left( x \right)$ như hình vẽ
Cho bất phương trình $3.f\left( x \right)\ge {{x}^{3}}-3x+m$ $\left( 1 \right)$, (m là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $\left( 1 \right)$ đúng với mọi x thuộc đoạn $\left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right]$ là
A. $m\ge 3f\left( -3 \right)$.
B. $m\le 3f\left( 3 \right)$.
C. $m\ge 3f\left( 1 \right)$.
D. $m\le 3f\left( 0 \right)$.
Yêu cầu bài toán tương đương $m\le 3f(x)-{{x}^{3}}+3\text{x }\forall \text{x}\in \left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right]\text{ (1)}$.
Xét hàm số $g(x)=3f(x)-{{x}^{3}}+3\text{x }\text{, x}\in \left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right]$.
Ta có $g'\left( x \right)=3.f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}+3=3.\left[ f'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]$.
Vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y={{f}^{'}}\left( x \right)$
Suy ra $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{3} \\
& x=0 \\
& x=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (x = 0 là nghiệm bội chẵn).
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$
Từ bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ suy ra (1) $\Leftrightarrow $ $m\le 3f\left( 3 \right)$.
Cho bất phương trình $3.f\left( x \right)\ge {{x}^{3}}-3x+m$ $\left( 1 \right)$, (m là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $\left( 1 \right)$ đúng với mọi x thuộc đoạn $\left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right]$ là
A. $m\ge 3f\left( -3 \right)$.
B. $m\le 3f\left( 3 \right)$.
C. $m\ge 3f\left( 1 \right)$.
D. $m\le 3f\left( 0 \right)$.
Xét hàm số $g(x)=3f(x)-{{x}^{3}}+3\text{x }\text{, x}\in \left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right]$.
Ta có $g'\left( x \right)=3.f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}+3=3.\left[ f'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]$.
Vẽ đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-1$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y={{f}^{'}}\left( x \right)$
Suy ra $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)={{x}^{2}}-1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-\sqrt{3} \\
& x=0 \\
& x=\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$ (x = 0 là nghiệm bội chẵn).
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$
Đáp án B.