Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Hàm số $y=f\left( \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right| \right)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. $\left( -\infty ;1010 \right)$
B. $\left( 1011;+\infty \right)$
C. $\left( 1010;1011 \right)$
D. $\left( 1011;1012 \right)$
B. $\left( 1011;+\infty \right)$
C. $\left( 1010;1011 \right)$
D. $\left( 1011;1012 \right)$
Ta có: ${y}'={f}'\left( \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right| \right)\left( \dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|}+\dfrac{x-2}{\left| x-2 \right|}+...+\dfrac{x-2021}{\left| x-2021 \right|} \right)$.
Xét $P\left( x \right)=\left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right|$ có ${P}'\left( x \right)=\dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|}+\dfrac{x-2}{\left| x-2 \right|}+...+\dfrac{x-2021}{\left| x-2021 \right|}$ ta đánh giá như sau:
Nếu $x>1011$ thì $P=\underbrace{1+1+1+...+1}_{1011}+\underbrace{\left( -1 \right)+\left( -1 \right)+...\left( -1 \right)}_{1010}=1>0$.
Nếu $x<1011$ thì $P=\underbrace{1+1+1+...+1}_{1010}+\underbrace{\left( -1 \right)+\left( -1 \right)+...\left( -1 \right)}_{1011}=-1<0$.
Vậy chứng tỏ rằng $x=1011$ là một điểm đổi dấu đồng thời bảng biến thiên của $P\left( x \right)$ như sau:
Chú ý: $P\left( 1011 \right)=1010+1009+...+1+0+1+...+1009+1010=1021110$.
Mặt khác vì ${f}'\left( \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right| \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right|=-2021\left( L \right) \\
& \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right|=1021111 \\
\end{aligned} \right..$
Mặt khác: $P\left( 1010 \right)=P\left( 1012 \right)=1009+1008+...+1+0+1+2+...+1010+1011=1021111.$
Do vậy ta có tất cả 3 điểm đổi dấu là $x=1010,x=1011,x=1012$. Đồng thời: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {g}'\left( x \right)=+\infty .$
Do đó:
Xét $P\left( x \right)=\left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right|$ có ${P}'\left( x \right)=\dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|}+\dfrac{x-2}{\left| x-2 \right|}+...+\dfrac{x-2021}{\left| x-2021 \right|}$ ta đánh giá như sau:
Nếu $x>1011$ thì $P=\underbrace{1+1+1+...+1}_{1011}+\underbrace{\left( -1 \right)+\left( -1 \right)+...\left( -1 \right)}_{1010}=1>0$.
Nếu $x<1011$ thì $P=\underbrace{1+1+1+...+1}_{1010}+\underbrace{\left( -1 \right)+\left( -1 \right)+...\left( -1 \right)}_{1011}=-1<0$.
Vậy chứng tỏ rằng $x=1011$ là một điểm đổi dấu đồng thời bảng biến thiên của $P\left( x \right)$ như sau:
Mặt khác vì ${f}'\left( \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right| \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right|=-2021\left( L \right) \\
& \left| x-1 \right|+\left| x-2 \right|+...+\left| x-2021 \right|=1021111 \\
\end{aligned} \right..$
Mặt khác: $P\left( 1010 \right)=P\left( 1012 \right)=1009+1008+...+1+0+1+2+...+1010+1011=1021111.$
Do vậy ta có tất cả 3 điểm đổi dấu là $x=1010,x=1011,x=1012$. Đồng thời: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {g}'\left( x \right)=+\infty .$
Do đó:
Đáp án C.