Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên. Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)$.
C. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
D. $\left( -1;+\infty \right)$.
A. $\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right)$.
C. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
D. $\left( -1;+\infty \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right)\left( x+1 \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}} \right)$.
Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}<0$ ; $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}\le \dfrac{1}{1+\sqrt{2}}$.
Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ chỉ có trường hợp duy nhất đó là $x=-1$.
Lập trục xét dấu ta suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.
Ta có:
$\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}<0$ ; $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}=\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x+2}}\le \dfrac{1}{1+\sqrt{2}}$.
Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ chỉ có trường hợp duy nhất đó là $x=-1$.
Lập trục xét dấu ta suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.
Đáp án C.