Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ thuộc đoạn $\left[ -2;6 \right]$ là
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}}$ lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ với trục hoành. Quan sát hình vẽ, ta có:
${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{-2}^{0}{{f}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{0}^{2}{-{f}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow \left. f\left( x \right) \right|_{-2}^{0}>\left. f\left( x \right) \right|_{2}^{0}$
$\Leftrightarrow f\left( 0 \right)-f\left( -2 \right)>f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( -2 \right)<f\left( 2 \right)$
Và ${{S}_{3}}>{{S}_{4}}\Leftrightarrow \int\limits_{2}^{5}{{f}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{5}^{6}{-{f}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow \left. f\left( x \right) \right|_{2}^{5}>\left. f\left( x \right) \right|_{6}^{5}$
$\Leftrightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 2 \right)>f\left( 5 \right)-f\left( 6 \right)\Leftrightarrow f\left( 2 \right)<f\left( 6 \right)$
Do đó $f\left( -2 \right)<f\left( 2 \right)<f\left( 6 \right)$
Mặt khác, từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đã cho ta được bảng biến thiên như hình dưới
$\Rightarrow $ đường thẳng $y=f\left( 2 \right)$ cắt đồ thị $y=f\left( x \right)$ tại hai điểm.
Vậy phương trình $f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{-2}^{0}{{f}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{0}^{2}{-{f}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow \left. f\left( x \right) \right|_{-2}^{0}>\left. f\left( x \right) \right|_{2}^{0}$
$\Leftrightarrow f\left( 0 \right)-f\left( -2 \right)>f\left( 0 \right)-f\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( -2 \right)<f\left( 2 \right)$
Và ${{S}_{3}}>{{S}_{4}}\Leftrightarrow \int\limits_{2}^{5}{{f}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{5}^{6}{-{f}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow \left. f\left( x \right) \right|_{2}^{5}>\left. f\left( x \right) \right|_{6}^{5}$
$\Leftrightarrow f\left( 5 \right)-f\left( 2 \right)>f\left( 5 \right)-f\left( 6 \right)\Leftrightarrow f\left( 2 \right)<f\left( 6 \right)$
Do đó $f\left( -2 \right)<f\left( 2 \right)<f\left( 6 \right)$
Mặt khác, từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đã cho ta được bảng biến thiên như hình dưới
Vậy phương trình $f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm.
Đáp án C.