Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình bên. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $g\left( 1 \right)<g\left( 3 \right)<g\left( -3 \right)$
B. $g\left( 1 \right)<g\left( -3 \right)<g\left( 3 \right)$
C. $g\left( 3 \right)=g\left( -3 \right)<g\left( 1 \right)$
D. $g\left( 3 \right)=g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)$
A. $g\left( 1 \right)<g\left( 3 \right)<g\left( -3 \right)$
B. $g\left( 1 \right)<g\left( -3 \right)<g\left( 3 \right)$
C. $g\left( 3 \right)=g\left( -3 \right)<g\left( 1 \right)$
D. $g\left( 3 \right)=g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)+2\left( x+1 \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( -3 \right)=2{f}'\left( -3 \right)-4,{g}'\left( 1 \right)=2{f}'\left( 1 \right)+4,{g}'\left( 3 \right)=2{f}'\left( 3 \right)+8$
Lại có nhìn đồ thị ta thấy
${f}'\left( -3 \right)=2,{f}'\left( 1 \right)=-2,{f}'\left( 3 \right)=-4\Rightarrow {g}'\left( -3 \right)={g}'\left( 1 \right)={g}'\left( 3 \right)=0$
Hay phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-x-1$ có 3 nghiệm
Nhìn đồ thị ta có bảng biến thiên:
Suy ra $g\left( 3 \right)>g\left( 1 \right),g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)$
Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=-x-1$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ trên 2 miền $\left[ -3;1 \right];\left[ 1;3 \right]$, ta có:
$\int\limits_{-3}^{1}{\left( -x-1-{f}'\left( x \right) \right)dx}>\int\limits_{1}^{3}{\left( {f}'\left( x \right)+x+1 \right)dx}\Leftrightarrow -\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow -g\left( 1 \right)+g\left( -3 \right)>g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( -3 \right)>g\left( 3 \right)$
Vậy $g\left( 1 \right)<g\left( 3 \right)<g\left( -3 \right)$
$\Rightarrow {g}'\left( -3 \right)=2{f}'\left( -3 \right)-4,{g}'\left( 1 \right)=2{f}'\left( 1 \right)+4,{g}'\left( 3 \right)=2{f}'\left( 3 \right)+8$
Lại có nhìn đồ thị ta thấy
${f}'\left( -3 \right)=2,{f}'\left( 1 \right)=-2,{f}'\left( 3 \right)=-4\Rightarrow {g}'\left( -3 \right)={g}'\left( 1 \right)={g}'\left( 3 \right)=0$
Hay phương trình ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-x-1$ có 3 nghiệm
Nhìn đồ thị ta có bảng biến thiên:
Suy ra $g\left( 3 \right)>g\left( 1 \right),g\left( -3 \right)>g\left( 1 \right)$
Mặt khác diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=-x-1$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ trên 2 miền $\left[ -3;1 \right];\left[ 1;3 \right]$, ta có:
$\int\limits_{-3}^{1}{\left( -x-1-{f}'\left( x \right) \right)dx}>\int\limits_{1}^{3}{\left( {f}'\left( x \right)+x+1 \right)dx}\Leftrightarrow -\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)dx}>\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)dx}$
$\Leftrightarrow -g\left( 1 \right)+g\left( -3 \right)>g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right)\Leftrightarrow g\left( -3 \right)>g\left( 3 \right)$
Vậy $g\left( 1 \right)<g\left( 3 \right)<g\left( -3 \right)$
Đáp án A.