Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có bảng biến thiên như hình vẽ.
Biết $f\left( 0 \right)=1$, có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y=mx+1$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ tại 2 điểm phân biệt $M,N$ có hoành độ khác $0$ sao cho trung điểm của $MN$ nằm trên trục hoành.
A. $7$.
B. $8$.
C. $13$.
D. Vô số.
A. $7$.
B. $8$.
C. $13$.
D. Vô số.
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có tiệm cận ngang: $y=-1\Rightarrow \dfrac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-c \left( 1 \right)$.
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng: $x=1\Rightarrow -\dfrac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c \left( 2 \right)$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow \dfrac{b}{d}=1\Rightarrow b=d \left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{1+x}{1-x}$, nên $f\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{1+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ và $y=mx+1$ :
$\dfrac{1+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}=mx+1\Leftrightarrow \left( 1+{{x}^{2}} \right)=\left( mx+1 \right)\left( 1-{{x}^{2}} \right)$, do $x=\pm 1$ không phải nghiệm.
$\Leftrightarrow x\left( m{{x}^{2}}+2x-m \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+2x-m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $M,N$ có hoành độ khác $0$ thì phương trình $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& g\left( 0 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+{{m}^{2}}>0 \\
& -m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ne 0$.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm phương trình $g\left( x \right)=0$, khi đó tọa độ $M,N$ :
$M\left( {{x}_{1}};m{{x}_{1}}+1 \right), N\left( {{x}_{2}};m{{x}_{2}}+1 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $MN$ thì $I$ có tung độ:
${{y}_{0}}=\dfrac{1}{2}\left( {{y}_{M}}+{{y}_{N}} \right)=\dfrac{1}{2}\left( m{{x}_{1}}+m{{x}_{2}}+2 \right)$ $=\dfrac{1}{2}\left[ m\left( -\dfrac{2}{m} \right)+2 \right]=0$.
Vậy trung điểm $I$ của $MN$ luôn nằm trên trục hoành với mọi tham số $m\ne 0$.
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.$$$$
Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng: $x=1\Rightarrow -\dfrac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c \left( 2 \right)$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow \dfrac{b}{d}=1\Rightarrow b=d \left( 3 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{1+x}{1-x}$, nên $f\left( {{x}^{2}} \right)=\dfrac{1+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}} \right)$ và $y=mx+1$ :
$\dfrac{1+{{x}^{2}}}{1-{{x}^{2}}}=mx+1\Leftrightarrow \left( 1+{{x}^{2}} \right)=\left( mx+1 \right)\left( 1-{{x}^{2}} \right)$, do $x=\pm 1$ không phải nghiệm.
$\Leftrightarrow x\left( m{{x}^{2}}+2x-m \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+2x-m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $M,N$ có hoành độ khác $0$ thì phương trình $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& g\left( 0 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+{{m}^{2}}>0 \\
& -m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ne 0$.
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm phương trình $g\left( x \right)=0$, khi đó tọa độ $M,N$ :
$M\left( {{x}_{1}};m{{x}_{1}}+1 \right), N\left( {{x}_{2}};m{{x}_{2}}+1 \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $MN$ thì $I$ có tung độ:
${{y}_{0}}=\dfrac{1}{2}\left( {{y}_{M}}+{{y}_{N}} \right)=\dfrac{1}{2}\left( m{{x}_{1}}+m{{x}_{2}}+2 \right)$ $=\dfrac{1}{2}\left[ m\left( -\dfrac{2}{m} \right)+2 \right]=0$.
Vậy trung điểm $I$ của $MN$ luôn nằm trên trục hoành với mọi tham số $m\ne 0$.
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.$$$$
Đáp án D.