Cho hàm số $y=f\left(x\right)={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$ có bảng biến...

Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tiệm cận ngang: $y=-1\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{c}}=-1\Rightarrow a=-c\left(1\right)$.
Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tiệm cận đứng: $x=1\Rightarrow -{\displaystyle \frac{d}{c}}=1\Rightarrow d=-c\left(2\right)$.
Ta có: $f\left(0\right)=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{b}{d}}=1\Rightarrow b=d\left(3\right)$.
Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ suy ra $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$, nên $f\left(x^2\right)={\displaystyle \frac{1+x^2}{1-x^2}}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y=f\left(x^2\right)$ và $y=mx+1$ :
${\displaystyle \frac{1+x^2}{1-x^2}}=mx+1\iff (1+x^2)=(mx+1)(1-x^2)$, do $x=\pm 1$ không phải nghiệm.
$\iff x(m{x}^2+2x-m)=0$ $\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & g\left(x\right)=m{x}^2+2x-m=0\end{array}$
Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $M,N$ có hoành độ khác $0$ thì phương trình $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$ $\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ & g\left(0\right)\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& 1+m^2>0\\ & -m\ne 0\end{array}\iff m\ne 0$.
Gọi $x_1,x_2$ là nghiệm phương trình $g\left(x\right)=0$, khi đó tọa độ $M,N$ :
$M(x_1;m{x}_1+1),N(x_2;m{x}_2+1)$.
Gọi $I$ là trung điểm $MN$ thì $I$ có tung độ:
$y_0={\displaystyle \frac{1}{2}}(y_M+y_N)={\displaystyle \frac{1}{2}}(m{x}_1+m{x}_2+2)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}[m(-{\displaystyle \frac{2}{m}})+2]=0$.
Vậy trung điểm $I$ của $MN$ luôn nằm trên trục hoành với mọi tham số $m\ne 0$.
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.$$$$