Cho hàm số $y=f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+m}{x-1}}$. Tính tổng các...

Điều kiện: $x\ne 1$. Ta có: $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-2-m}{{(x-1)}^2}}$.
TH1: $y^{\prime }>0\iff -2-m>0\iff m<-2$ suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$ nên hàm số đồng biến trên $(2;3)$.
Suy ra $\underset{[2;3]}{max}y=y\left(3\right)={\displaystyle \frac{6+m}{2}};\underset{[2;3]}{min}y=y\left(2\right)=4+m$.
Theo đề bài, ta có: $|{\displaystyle \frac{6+m}{2}}-(4+m)|=2\iff |-2-m|=4\iff [\begin{array}{rl}& m+2=4\\ & m+2=-4\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=2\left(ktm\right)\\ & m=-6\left(tm\right)\end{array}$.
TH2: $y^{\prime }<0\iff -2-m<0\iff m>-2$ suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $(-\mathrm{\infty };1)\cup (1;+\mathrm{\infty })$ xác định nên hàm số nghịch biến trên $(2;3)$.
Suy ra $\underset{[2;3]}{min}y=y\left(3\right)={\displaystyle \frac{6+m}{2}};\underset{[2;3]}{max}y=y\left(2\right)=4+m$.
Từ yêu cầu ta có: $|4+m-{\displaystyle \frac{6+m}{2}}|=2\iff |2+m|=4\iff [\begin{array}{rl}& m+2=4\\ & m+2=-4\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& m=2\left(ktm\right)\\ & m=-6\left(tm\right)\end{array}$.
Vậy $m=2;m=-6$ nên tổng các giá trị của m là $2+(-6)=-4$.