Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{2x+m}{x-1}$. Tính tổng các...

Điều kiện: $x\ne 1$. Ta có: $y'=\dfrac{-2-m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$.
TH1: $y'>0\Leftrightarrow -2-m>0\Leftrightarrow m<-2$ suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 2;3 \right)$.
Suy ra $\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 3 \right)=\dfrac{6+m}{2};\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 2 \right)=4+m$.
Theo đề bài, ta có: $\left| \dfrac{6+m}{2}-\left( 4+m \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| -2-m \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+2=4 \\
& m+2=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2\left( ktm \right) \\
& m=-6\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH2: $y'<0\Leftrightarrow -2-m<0\Leftrightarrow m>-2$ suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ xác định nên hàm số nghịch biến trên $\left( 2;3 \right)$.
Suy ra $\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 3 \right)=\dfrac{6+m}{2};\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 2 \right)=4+m$.
Từ yêu cầu ta có: $\left| 4+m-\dfrac{6+m}{2} \right|=2\Leftrightarrow \left| 2+m \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m+2=4 \\
& m+2=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2\left( ktm \right) \\
& m=-6\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $m=2;m=-6$ nên tổng các giá trị của m là $2+\left( -6 \right)=-4$.