Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{2x+m}{x-1}.$ Tính tổng các...

Hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{2x+m}{x-1}$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ 2;3 \right]$
Với $m=-2$, hàm số trở thành $y=2\Rightarrow \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=2$ (không thỏa mãn).
Với $m\ne -2,$ ta có ${y}'=\dfrac{-2-m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.$
Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên $\left[ 2;3 \right].$
Suy ra $\left[ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right);\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right) \\
& \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 3 \right);\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó: $\left| \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)-\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right|=\left| f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right) \right|=\left| \dfrac{6+m}{2}-\left( 4+m \right) \right|=\left| \dfrac{2+m}{2} \right|$
Theo giả thiết $\left| \underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)-\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| \dfrac{2+m}{2} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=-6 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $-4.$