Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m-1...

Ta có ${y}'={{x}^{2}}-2\left( 2m-1 \right)x+8-m$
Vì $f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm chẵn (do $f\left( \left| -x \right| \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ ), nên đồ thị hàm $f\left( \left| x \right| \right)$ đối xứng qua trục Oy. Do đó, khi hàm $f\left( x \right)$ có hai cực trị dương thì hàm $f\left( \left| x \right| \right)$ sẽ có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy và một cực trị còn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm $f\left( \left| x \right| \right)$ và trụ Oy. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ${y}'=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều kiện tương đương là
$\left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'>0 \\
& S>0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-\left( 8-m \right)>0 \\
& 2m-1>0 \\
& 8-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{m}^{2}}-3m-7>0 \\
& m>\dfrac{1}{2} \\
& m<8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<-1\vee m>\dfrac{7}{4} \\
& m>\dfrac{1}{2} \\
& m<8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left( \dfrac{7}{4}; 8 \right)$
Vậy $a=\dfrac{7}{4}, b=8$ và $a.b=14$