Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ax$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{7}{40}$ thì $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( \dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4} \right)$
B. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right)$
C. $\left( 0;\dfrac{1}{3} \right)$
D. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right)$
A. $\left( \dfrac{3}{4};\dfrac{5}{4} \right)$
B. $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right)$
C. $\left( 0;\dfrac{1}{3} \right)$
D. $\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4} \right)$
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-ax \right)dx}=\left( -\dfrac{{{x}^{4}}}{12}-\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{aligned}
& 0 \\
& -1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{12}+\dfrac{a}{2}.$
${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ax \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{12}+\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{4}{3}+2a.$
Vì $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{7}{40}\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{12}+\dfrac{a}{2}}{\dfrac{4}{3}+2a}=\dfrac{7}{40}\Leftrightarrow \dfrac{10}{3}+20a=\dfrac{28}{3}+14a\Leftrightarrow a=\dfrac{8}{21}.$
Vậy $a\in \left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right).$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Ta có:
${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-ax \right)dx}=\left( -\dfrac{{{x}^{4}}}{12}-\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{aligned}
& 0 \\
& -1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{12}+\dfrac{a}{2}.$
${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+ax \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{4}}}{12}+\dfrac{a{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{aligned}
& 2 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{4}{3}+2a.$
Vì $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{7}{40}\Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{12}+\dfrac{a}{2}}{\dfrac{4}{3}+2a}=\dfrac{7}{40}\Leftrightarrow \dfrac{10}{3}+20a=\dfrac{28}{3}+14a\Leftrightarrow a=\dfrac{8}{21}.$
Vậy $a\in \left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right).$
Đáp án B.