Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f\left( \sqrt{3}-1 \right)=1$ và ${f}'\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\ \left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$. Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như sau
Số điểm cực trị của $g\left( x \right)=f\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-8\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}-\left( \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)+6\left| f\left( x \right) \right|}{8} \right)$ là
A. $5$.
B. $2$.
C. $7$.
D. $6$.
$\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)f'\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}\left[ f'\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-\dfrac{4}{\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}}-\dfrac{2\left| f\left( x \right) \right|+6}{8} \right]=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f'\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-\dfrac{4}{\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}}-\dfrac{2\left| f\left( x \right) \right|+6}{8}=0 \\
\end{aligned} \right.\quad \\
\end{aligned}$
Ta có:
$f'\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-\dfrac{4}{\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}}-\dfrac{2\left| f\left( x \right) \right|+6}{8}=0$.
Đặt $t=\left| f\left( x \right) \right|-2$ ta được
$\begin{aligned}
& f'\left( t \right)-\dfrac{4}{\sqrt{t+4}}-\dfrac{t+5}{4}=0\Leftrightarrow -{{t}^{2}}-2t+2-\dfrac{4}{\sqrt{t+4}}-\dfrac{t+5}{4}=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+9t-3+\dfrac{16}{\sqrt{t+4}}=0 \\
\end{aligned}$
Như vậy ta có:
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{3}$
Đồng thời đạo hàm không xác định khi và chỉ khi
$f\left( x \right)=0$
Tất cả đạo hàm bằng không và đạo hàm không xác định có năm nghiệm đơn do đó hàm số có năm điểm cực trị.
A. $5$.
B. $2$.
C. $7$.
D. $6$.
Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ là parabol có đỉnh $I\left( -1;3 \right)$ nên ${f}'\left( x \right)=a{{\left( x+1 \right)}^{2}}+3$. Điểm $A\left( \sqrt{3}-1;0 \right)$ thuộc đồ thị nên $a=-1$. Do đó ${f}'\left( x \right)=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}+3=-{{x}^{2}}-2x+2$. Vì thế $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+C$. Mà $f\left( \sqrt{3}-1 \right)=1$ nên $C=\dfrac{11-6\sqrt{3}}{3}$. $\begin{aligned}
& g'\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)f'\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}\left[ f'\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-\dfrac{4}{\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}}-\dfrac{2\left| f\left( x \right) \right|+6}{8} \right]=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f'\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-\dfrac{4}{\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}}-\dfrac{2\left| f\left( x \right) \right|+6}{8}=0 \\
\end{aligned} \right.\quad \\
\end{aligned}$
Ta có:
$f'\left( \left| f\left( x \right) \right|-2 \right)-\dfrac{4}{\sqrt{2+\left| f\left( x \right) \right|}}-\dfrac{2\left| f\left( x \right) \right|+6}{8}=0$.
Đặt $t=\left| f\left( x \right) \right|-2$ ta được
$\begin{aligned}
& f'\left( t \right)-\dfrac{4}{\sqrt{t+4}}-\dfrac{t+5}{4}=0\Leftrightarrow -{{t}^{2}}-2t+2-\dfrac{4}{\sqrt{t+4}}-\dfrac{t+5}{4}=0 \\
& \Leftrightarrow 4{{t}^{2}}+9t-3+\dfrac{16}{\sqrt{t+4}}=0 \\
\end{aligned}$
Như vậy ta có:
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{3}$
Đồng thời đạo hàm không xác định khi và chỉ khi
$f\left( x \right)=0$
Tất cả đạo hàm bằng không và đạo hàm không xác định có năm nghiệm đơn do đó hàm số có năm điểm cực trị.
Đáp án A.