Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f\left( 1 \right)<0$ và đồ...

Ta có: $h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-\dfrac{{{x}^{6}}}{3}+{{x}^{4}}-{{x}^{2}}\Rightarrow {h}'\left( x \right)=2x\left[ {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right) \right]$
${h}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& \underbrace{{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)}_{k\left( x \right)}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}} \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}+1\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$,phương trình $\left( * \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)={{t}^{2}}-2{{t}^{2}}+1\left( ** \right)$.
Vẽ thêm đồ thị hàm số ${{x}^{2}}-2x+1$ (màu đỏ) trên đồ thị ${f}'\left( x \right)$ đề cho.

Dựa vào đồ thị, $\left( ** \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}=1 \\
& {{x}^{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 (\text{bo }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ i cha }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ n)} \\
& x=\pm 1. \\
& x=\pm \sqrt{2}. \\
\end{aligned} \right.$.
Theo đồ thị ta thấy qua điểm $t=2$, đồ thị màu đỏ vẫn nằm trên đường màu xanh hay nói cách khác, dấu của biểu thức không bị đổi qua điểm này.
Vì vậy trong bảng biến thiên có thể bỏ qua xét tại hai điểm này.
Còn $x=0$ trở thành nghiệm bội lẻ của phương trình ${h}'\left( x \right)=0$, do đó ta vẫn xét.
Theo đó ta lập bảng biến thiên như sau:

(Do $f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{3}<0$, nên lấy đối xứng qua $Ox$ ta được bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ )