Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f(-2)=0$ và đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu như hình sau
Hàm số $g\left( x \right)=\left| 15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Hàm số $g\left( x \right)=\left| 15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 7.
Hàm số $h\left( x \right)=15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}}$
Ta có $h'\left( x \right)=15\left( -4{{x}^{3}}+4x \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-60{{x}^{5}}+60x$
$\Rightarrow h'\left( x \right)=-60x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}+1 \right]$.
Mà $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2=-{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1\le -1,\forall x\in \mathbb{R}$ nên dựa vào bảng xét dấu của ${f}'\left( x \right)$ ta suy ra ${f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)\ge 0$.
Suy ra ${f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó dấu của $h'\left( x \right)$ cùng dấu với $u\left( x \right)=-60x\left( {{x}^{2}}-1 \right)$, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1;x=0;x=1$.
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Ta có $h(0)=15f(-2)=0$ nên đồ thị hàm số $y=h(x)$ tiếp xúc $\text{Ox}$ tại $O$ và cắt trục $\text{Ox}$ tại $3$ điểm phân biệt.
Vậy $y=g(x)$ có $5$ cực trị.
Ta có $h'\left( x \right)=15\left( -4{{x}^{3}}+4x \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-60{{x}^{5}}+60x$
$\Rightarrow h'\left( x \right)=-60x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}+1 \right]$.
Mà $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2=-{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1\le -1,\forall x\in \mathbb{R}$ nên dựa vào bảng xét dấu của ${f}'\left( x \right)$ ta suy ra ${f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)\ge 0$.
Suy ra ${f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)+{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó dấu của $h'\left( x \right)$ cùng dấu với $u\left( x \right)=-60x\left( {{x}^{2}}-1 \right)$, tức là đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1;x=0;x=1$.
Vậy hàm số $h\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Ta có $h(0)=15f(-2)=0$ nên đồ thị hàm số $y=h(x)$ tiếp xúc $\text{Ox}$ tại $O$ và cắt trục $\text{Ox}$ tại $3$ điểm phân biệt.
Vậy $y=g(x)$ có $5$ cực trị.
Đáp án C.