T

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0, 1...

Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Khi đó hàm số $y=f\left( 4\text{x}-4{{\text{x}}^{2}} \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
Theo đề bài thì $y=f\left( x \right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và $y=f'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
& u\left( x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.;$ với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ,
còn $u\left( x \right)=0$ chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập $\left[ 0;1;2 \right]$
Đặt $g\left( x \right)=f\left( 4x-4{{x}^{2}} \right),$ ta có:
$g'\left( x \right)=\left( 4-8x \right)f'\left( 4x-4{{x}^{2}} \right).$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4-8x=0 \\
& f'\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4-8x=0 \\
& 4x-4{{x}^{2}}=0 \\
& 4x-4{{x}^{2}}=1 \\
& 4x-4{{x}^{2}}=2 \\
& u\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\text{x}-1=0 \\
& x\left( x-1 \right)=0 \\
& {{\left( 2\text{x}-1 \right)}^{2}}=0 \\
& u\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
& u\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
+) Xét phương trình $u\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0.$
Giả sử a là một nghiệm của phương trình $u\left( x \right)=0$ thì từ $a\notin \left\{ 0;1;2 \right\}$ ta thấy phương trình $4x-4{{x}^{2}}=a$ không có nghiệm nào thuộc tập $\left\{ 0;\dfrac{1}{2};1 \right\}.$ Suy ra các nghiệm $x=0;x=1$ là nghiệm đơn còn $x=\dfrac{1}{2}$ là nghiệm bội 3 của phương trình $f'\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0$
+) Nếu phương trình $u\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0$ có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương trình $f'\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)=0$
Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình $g\left( x \right)=0$ là $\left\{ 0;\dfrac{1}{2};1 \right\}.$ Do đó, hàm số $g\left( x \right)=f\left( 4x-4{{x}^{2}} \right)$ có 3 điểm cực trị.
Đáp án C.
 

Quảng cáo

Back
Top