Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0, 1...

Theo đề bài thì $y=f\left(x\right)$ có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và $y=f^{\prime }\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=1\\ & x=2\\ & u\left(x\right)=0\end{array};$ với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ,
còn $u\left(x\right)=0$ chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập $[0;1;2]$
Đặt $g\left(x\right)=f(4x-4x^2),$ ta có:
$g^{\prime }\left(x\right)=(4-8x)f^{\prime }(4x-4x^2).$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& 4-8x=0\\ & f^{\prime }(4x-4x^2)=0\end{array}$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& 4-8x=0\\ & 4x-4x^2=0\\ & 4x-4x^2=1\\ & 4x-4x^2=2\\ & u(4x-4x^2)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& 2\text{x}-1=0\\ & x(x-1)=0\\ & {(2\text{x}-1)}^2=0\\ & u(4x-4x^2)=0\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=1\\ & x={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & u(4x-4x^2)=0\end{array}$
+) Xét phương trình $u(4x-4x^2)=0.$
Giả sử a là một nghiệm của phương trình $u\left(x\right)=0$ thì từ $a\notin \{0;1;2\}$ ta thấy phương trình $4x-4x^2=a$ không có nghiệm nào thuộc tập $\{0;{\displaystyle \frac{1}{2}};1\}.$ Suy ra các nghiệm $x=0;x=1$ là nghiệm đơn còn $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ là nghiệm bội 3 của phương trình $f^{\prime }(4x-4x^2)=0$
+) Nếu phương trình $u(4x-4x^2)=0$ có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương trình $f^{\prime }(4x-4x^2)=0$
Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình $g\left(x\right)=0$ là $\{0;{\displaystyle \frac{1}{2}};1\}.$ Do đó, hàm số $g\left(x\right)=f(4x-4x^2)$ có 3 điểm cực trị.