Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $y={f}'\left( x...

Ta có: ${g}'\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}-{f}'\left( x \right)$
Căn cứ vào đồ thị $y={f}'\left( x \right),$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -1 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& {f}'\left( -3 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( -1 \right)=0 \\
& {g}'\left( 1 \right)=0 \\
& {g}'\left( -3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ngoài ra, vẽ đồ thị (P) của hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt), ta thấy (P) đi qua các điểm $\left( -3;3 \right),\left( -1;-2 \right),\left( 1;1 \right)$ với đỉnh $I\left( -\dfrac{3}{4};-\dfrac{33}{16} \right).$
Ta thấy:
+ Trên khoảng $\left( -3;-1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2},$ nên ${g}'\left( x \right)>0 \forall x\in \left( -3;-1 \right)$
+ Trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2},$ nên ${g}'\left( x \right)<0 \forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$ trên $\left[ -3;1 \right]$ như sau
Vậy $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right).$