Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $y={f}'\left( x...

Ta có: $g\left(x\right)=f\left(x\right)-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2018$
$\Rightarrow g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)-x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$
Căn cứ vào đồ thị $y=f^{\prime }\left(x\right)$, ta có: $\{\begin{array}{rl}& f^{\prime }(-1)=-2\\ & f^{\prime }\left(1\right)=1\\ & f^{\prime }(-3)=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& g^{\prime }(-1)=0\\ & g^{\prime }\left(1\right)=0\\ & g^{\prime }(-3)=0\end{array}$

Ngoài ra, vẽ đồ thị $\left(P\right)$ của hàm số $y=x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên, ta thấy $\left(P\right)$ đi qua các điểm $(-3;3)$, $(-1;-2)$, $(1;1)$ với đỉnh $I(-{\displaystyle \frac{3}{4}};-{\displaystyle \frac{33}{16}})$.
Rõ ràng
Trên khoảng $(-1;1)$ thì $f^{\prime }\left(x\right)>x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, nên $g^{\prime }\left(x\right)>0$, $\mathrm{\forall }x\in (-1;1)$.
Trên khoảng $(-3;-1)$ thì $f^{\prime }\left(x\right)<x^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, nên $g^{\prime }\left(x\right)<0$, $\mathrm{\forall }x\in (-3;-1)$.
Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm $y=g^{\prime }\left(x\right)$ trên $[-3;1]$ như sau:

Vậy $\underset{[-3;1]}{min}g\left(x\right)=g(-1)$.