Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2018$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
C. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right)$.
D. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{g\left( -3 \right)+g\left( 1 \right)}{2}$.
A. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
C. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right)$.
D. $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{g\left( -3 \right)+g\left( 1 \right)}{2}$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2018$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2}$
Căn cứ vào đồ thị $y={f}'\left( x \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -1 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& {f}'\left( -3 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( -1 \right)=0 \\
& {g}'\left( 1 \right)=0 \\
& {g}'\left( -3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ngoài ra, vẽ đồ thị $\left( P \right)$ của hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên, ta thấy $\left( P \right)$ đi qua các điểm $\left( -3;3 \right)$, $\left( -1;-2 \right)$, $\left( 1;1 \right)$ với đỉnh $I\left( -\dfrac{3}{4};-\dfrac{33}{16} \right)$.
Rõ ràng
Trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)>{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$, nên ${g}'\left( x \right)>0$, $\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Trên khoảng $\left( -3;-1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$, nên ${g}'\left( x \right)<0$, $\forall x\in \left( -3;-1 \right)$.
Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm $y={g}'\left( x \right)$ trên $\left[ -3;1 \right]$ như sau:
Vậy $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2}$
Căn cứ vào đồ thị $y={f}'\left( x \right)$, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( -1 \right)=-2 \\
& {f}'\left( 1 \right)=1 \\
& {f}'\left( -3 \right)=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( -1 \right)=0 \\
& {g}'\left( 1 \right)=0 \\
& {g}'\left( -3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Ngoài ra, vẽ đồ thị $\left( P \right)$ của hàm số $y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên, ta thấy $\left( P \right)$ đi qua các điểm $\left( -3;3 \right)$, $\left( -1;-2 \right)$, $\left( 1;1 \right)$ với đỉnh $I\left( -\dfrac{3}{4};-\dfrac{33}{16} \right)$.
Rõ ràng
Trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)>{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$, nên ${g}'\left( x \right)>0$, $\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Trên khoảng $\left( -3;-1 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$, nên ${g}'\left( x \right)<0$, $\forall x\in \left( -3;-1 \right)$.
Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm $y={g}'\left( x \right)$ trên $\left[ -3;1 \right]$ như sau:
Vậy $\underset{\left[ -3; 1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
Đáp án A.