Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ ở hình vẽ bên. Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+2021,$ mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{g\left( -3 \right)+g\left( 1 \right)}{2}$.
C. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right)$.
D. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2}={f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)$.
Vẽ parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$. Ta thấy $\left( P \right)$ đi qua CáC điểm Có toạ độ $\left( -3 ;3 \right)$, $\left( -1 ;2 \right)$, $\left( 1 ;1 \right)$.
+ Trên khoảng $\left( -3 ;-1 \right)$ đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ nằm phía dưới $\left( P \right)$ nên
${f}'\left( x \right)<\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
+ Trên khoảng $\left( -1 ;1 \right)$ đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ nằm phía trên $\left( P \right)$ nên
${f}'\left( x \right)>\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$.
+ Trên khoảng $\left( 1 ;+\infty \right)$ đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ nằm phía dưới $\left( P \right)$ nên
${f}'\left( x \right)<\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, Ta có $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
A. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\dfrac{g\left( -3 \right)+g\left( 1 \right)}{2}$.
C. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -3 \right)$.
D. $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2}={f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)$.
Vẽ parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$. Ta thấy $\left( P \right)$ đi qua CáC điểm Có toạ độ $\left( -3 ;3 \right)$, $\left( -1 ;2 \right)$, $\left( 1 ;1 \right)$.
+ Trên khoảng $\left( -3 ;-1 \right)$ đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ nằm phía dưới $\left( P \right)$ nên
${f}'\left( x \right)<\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
+ Trên khoảng $\left( -1 ;1 \right)$ đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ nằm phía trên $\left( P \right)$ nên
${f}'\left( x \right)>\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)>0$.
+ Trên khoảng $\left( 1 ;+\infty \right)$ đồ thị hàm số ${f}'\left( x \right)$ nằm phía dưới $\left( P \right)$ nên
${f}'\left( x \right)<\left( {{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)<0$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, Ta có $\underset{\left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( -1 \right)$.
Đáp án A.