Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là...

Ta có: ${{f}^{3}}\left( x \right)-mf\left( x \right)-2m>\sqrt[3]{mf\left( x \right)+4f\left( x \right)+2m}$
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+4f\left( x \right)>\left[ mf\left( x \right)+4f\left( x \right)+2m \right]+4\sqrt[3]{mf\left( x \right)+4f\left( x \right)+2m}$.
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}+4t,t\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow {g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+4>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình đã cho trở thành
$g\left[ f\left( x \right) \right]>g\left[ \sqrt[3]{mf\left( x \right)+4f\left( x \right)+2m} \right]\Leftrightarrow f\left( x \right)>\sqrt[3]{mf\left( x \right)+4f\left( x \right)+2m}$
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)>mf\left( x \right)+4f\left( x \right)+2m\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)-mf\left( x \right)-4f\left( x \right)-2m>0$
$\Leftrightarrow \left[ f\left( x \right)+2 \right]\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-m \right]>0\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)-m>0$
(Vì khi $x\in \left( -1;1 \right)$ nên $f\left( x \right)\in \left( -2;2 \right)$ )
Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)>m$ có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$.
Đặt $f\left( x \right)=t;x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow t\in \left( -2;2 \right)$
Phương trình ${{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)>m$ có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi phương trình ${{t}^{2}}-t>m$ có nghiệm $t\in \left( -2;2 \right)$.
Xét $g\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t\in \left( -2;2 \right)$. Có ${g}'\left( t \right)=2t-2;{g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$.
Ta có bảng biến thiên của $g\left( t \right)$ trên khoảng $\left( -2;2 \right)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ${{t}^{2}}-2t>m$ có nghiệm $t\in \left( -2;2 \right)\Rightarrow m<8$.
Vì $m\in \left[ 0;9 \right]\Rightarrow m\in \left[ 0;7 \right]$.
Vậy tập S có 255 tập con khác rỗng.