Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình $\left[ x\left( m-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}+{{m}^{2}}-3 \right].\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số tập con của tập hợp S là
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
Nhận xét phương trình ${{2}^{f\left( x \right)}}-1=0$ có một nghiệm đơn $x=2$ nên biểu thức sẽ đổi dấu khi đi qua điểm $x=2$.
Do đó để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì phương trình
$x\left( m-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}+{{m}^{2}}-3=0$ phải có một nghiệm.
$x=2\Rightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại với $m=1$ ta có:
$\left[ x\left( 1-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}-2 \right]\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 1-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0$.
$\Leftrightarrow {{2}^{f\left( \sin x \right)}}\le 1\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)\le 0\Leftrightarrow \sin x\le 2$ luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thử lại với $m=-3$ ta có:
$\left[ x\left( -3-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}+6 \right]\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow -\left( x-2 \right)\left( 3+{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow 3+{{2}^{f\left( \sin x \right)}}\le 0$ (vô lý) $\Rightarrow m=-3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $S=\left\{ 1 \right\}$. Số tập con của S là 2 đó $\left\{ 1 \right\}$ và $\varnothing $.
Do đó để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì phương trình
$x\left( m-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}+{{m}^{2}}-3=0$ phải có một nghiệm.
$x=2\Rightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Thử lại với $m=1$ ta có:
$\left[ x\left( 1-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}-2 \right]\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 1-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0$.
$\Leftrightarrow {{2}^{f\left( \sin x \right)}}\le 1\Leftrightarrow f\left( \sin x \right)\le 0\Leftrightarrow \sin x\le 2$ luôn đúng với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Thử lại với $m=-3$ ta có:
$\left[ x\left( -3-{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)+{{2.2}^{f\left( \sin x \right)}}+6 \right]\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow -\left( x-2 \right)\left( 3+{{2}^{f\left( \sin x \right)}} \right)\left( {{2}^{f\left( x \right)}}-1 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow 3+{{2}^{f\left( \sin x \right)}}\le 0$ (vô lý) $\Rightarrow m=-3$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $S=\left\{ 1 \right\}$. Số tập con của S là 2 đó $\left\{ 1 \right\}$ và $\varnothing $.
Đáp án C.