Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây Có...

Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ta suy ra $f\left( x \right)$ có tập xác định $D=R\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$ và các giới hạn $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=0$, $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $, $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $, $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $, $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $.
Vì hàm số $t={{x}^{2}}-2x+m$ xác định trên R nên hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m\ne 1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m\ne -1 \\
\end{aligned} \right.$
Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \left( {{x}^{2}}-2x+m \right)=+\infty $ nên $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \left[ f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m \right]=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ f\left( t \right)-m \right]=-m$.
Do đó đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m$ có đúng một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-m$ (về cả 2 phía $x\to +\infty $ và $x\to -\infty $ )
Để đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m$ có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4 đường tiệm cận đứng.
Điều kiện cần $\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m=1 \\
& {{x}^{2}}-2x+m=-1 \\
\end{aligned} \right.$ phải có 4 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=-m+2 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=-m \\
\end{aligned} \right. $ có 4 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m+2>0 \\
& -m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<0$.
Điều kiện đủ: Giả sử ${{x}_{1}}, {{x}_{2}} ({{x}_{1}}<{{x}_{2}})$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${{x}^{2}}-2x+m=1$ ; ${{x}_{3}}; {{x}_{4}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${{x}^{2}}-2x+m=-1$.
Xét đường thẳng $x={{x}_{1}}$, ta có $\underset{x\to {{x}_{1}}^{\mp }}{\mathop{\lim }} \left[ f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m \right]=\underset{t\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }} \left[ f\left( t \right)-m \right]=\pm \infty $.
Suy ta đường thẳng $x={{x}_{1}}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m$.
Tương tự các đường thẳng $x={{x}_{2}} $, $x={{x}_{3}}, x={{x}_{4}}$ cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m$.
Vậy để đồ thị hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-m$ có 5 đường tiệm cận thì $m<0$.
Do $m\in Z$ và $m\in \left[ -20; 20 \right]$ nên có tất cả 20 giá trị của m.