Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây Có...

Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ ta suy ra $f\left(x\right)$ có tập xác định $D=R\mathrm{\setminus }\{\pm 1\}$ và các giới hạn $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=0$, $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to -1^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$.
Vì hàm số $t=x^2-2x+m$ xác định trên R nên hàm số $y=f(x^2-2x+m)-m$ xác định $\iff \{\begin{array}{rl}& x^2-2x+m\ne 1\\ & x^2-2x+m\ne -1\end{array}$
Vì $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(x^2-2x+m)=+\mathrm{\infty }$ nên $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f(x^2-2x+m)-m]=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(t\right)-m]=-m$.
Do đó đồ thị hàm số $y=f(x^2-2x+m)-m$ có đúng một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-m$ (về cả 2 phía $x\to +\mathrm{\infty }$ và $x\to -\mathrm{\infty }$ )
Để đồ thị hàm số $y=f(x^2-2x+m)-m$ có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4 đường tiệm cận đứng.
Điều kiện cần $[\begin{array}{rl}& x^2-2x+m=1\\ & x^2-2x+m=-1\end{array}$ phải có 4 nghiệm phân biệt.
$\iff [\begin{array}{rl}& {(x-1)}^2=-m+2\\ & {(x-1)}^2=-m\end{array}$ có 4 nghiệm phân biệt $\iff [\begin{array}{rl}& -m+2>0\\ & -m>0\end{array}\iff m<0$.
Điều kiện đủ: Giả sử $x_1,x_2(x_1<x_2)$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $x^2-2x+m=1$ ; $x_3;x_4$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $x^2-2x+m=-1$.
Xét đường thẳng $x=x_1$, ta có $\underset{x\to {x_1}^{\mp }}{lim}[f(x^2-2x+m)-m]=\underset{t\to 1^{\pm }}{lim}[f\left(t\right)-m]=\pm \mathrm{\infty }$.
Suy ta đường thẳng $x=x_1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x^2-2x+m)-m$.
Tương tự các đường thẳng $x=x_2$, $x=x_3,x=x_4$ cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x^2-2x+m)-m$.
Vậy để đồ thị hàm số $y=f(x^2-2x+m)-m$ có 5 đường tiệm cận thì $m<0$.
Do $m\in Z$ và $m\in [-20;20]$ nên có tất cả 20 giá trị của m.