Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=f\left( x \right)}$ có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của ${m}$ để phương trình ${f\left( x+1 \right)-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}+3x+5}=0}$ có nghiệm trên khoảng ${\left( -1;1 \right)}$
A. ${13}$.
B. ${11}$.
C. ${5}$.
D. ${10.}$
Có bao nhiêu giá trị nguyên của ${m}$ để phương trình ${f\left( x+1 \right)-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}+3x+5}=0}$ có nghiệm trên khoảng ${\left( -1;1 \right)}$
A. ${13}$.
B. ${11}$.
C. ${5}$.
D. ${10.}$
Ta có: $f\left( x+1 \right)-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}+3x+5}=0\Leftrightarrow f\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+5 \right)={{m}^{2}}$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+5 \right),x\in \left( -1;1 \right)$
$g'\left( x \right)=f'\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+5 \right)+f\left( x+1 \right)\left( 2x+3 \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x+1 \right)>0 \\
& f\left( x+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -1;1 \right) $ và ta cũng thấy$ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x+5>0 \\
& 2x+3>0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -1;1 \right)$
Từ đó ta có $g\left( x \right)>0\forall x\left( -1;1 \right)$ nên hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$
và ${{\lim }_{x\to -{{1}^{+}}}}g\left( x \right)=f\left( 0 \right).3=0,{{\lim }_{x-1}}g\left( x \right)=f\left( 2 \right).9=36.$
Vậy phương trình $f\left( x+1 \right)-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}+3x+5}=0$ có nghiệm thuộc (-1;1) khi và chỉ khi $0<{{m}^{2}}36\Leftrightarrow 0\left| m \right|<6$ Vậy có 10 giá trị nguyên m
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{x}^{2}}+5 \right),x\in \left( -1;1 \right)$
$g'\left( x \right)=f'\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+5 \right)+f\left( x+1 \right)\left( 2x+3 \right)$
Dựa vào đồ thị ta thấy$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x+1 \right)>0 \\
& f\left( x+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -1;1 \right) $ và ta cũng thấy$ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+3x+5>0 \\
& 2x+3>0 \\
\end{aligned} \right.\forall x\in \left( -1;1 \right)$
Từ đó ta có $g\left( x \right)>0\forall x\left( -1;1 \right)$ nên hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;1 \right)$
và ${{\lim }_{x\to -{{1}^{+}}}}g\left( x \right)=f\left( 0 \right).3=0,{{\lim }_{x-1}}g\left( x \right)=f\left( 2 \right).9=36.$
Vậy phương trình $f\left( x+1 \right)-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}+3x+5}=0$ có nghiệm thuộc (-1;1) khi và chỉ khi $0<{{m}^{2}}36\Leftrightarrow 0\left| m \right|<6$ Vậy có 10 giá trị nguyên m
Đáp án D.