Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình $\dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+x=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ ?
A. 4.
B. 9.
C. 8.
D. 5.
A. 4.
B. 9.
C. 8.
D. 5.
Ta có phương trình $\Leftrightarrow f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+6\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)=3m+6$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $y=f\left( t \right)+6t$ với $t=\dfrac{x}{2}+1$. Vì $x\in \left[ -2;2 \right]$ nên $t\in \left[ 0;2 \right]$.
Ta có ${y}'={f}'\left( t \right)+6>0$, $\forall t\in \left[ 0;2 \right]$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( f\left( t \right)+6t \right)\le 3m+6\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left( f\left( t \right)+6t \right)$.
$\Leftrightarrow {f}'\left( 0 \right)\le 3m+6\le f\left( 2 \right)+12\Leftrightarrow \dfrac{-10}{3}\le m\le 4$.
Vì $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên dương m cần tìm.
Xét hàm số $y=f\left( t \right)+6t$ với $t=\dfrac{x}{2}+1$. Vì $x\in \left[ -2;2 \right]$ nên $t\in \left[ 0;2 \right]$.
Ta có ${y}'={f}'\left( t \right)+6>0$, $\forall t\in \left[ 0;2 \right]$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} \left( f\left( t \right)+6t \right)\le 3m+6\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} \left( f\left( t \right)+6t \right)$.
$\Leftrightarrow {f}'\left( 0 \right)\le 3m+6\le f\left( 2 \right)+12\Leftrightarrow \dfrac{-10}{3}\le m\le 4$.
Vì $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Vậy có 4 giá trị nguyên dương m cần tìm.
Đáp án A.