Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -10;10 \right)$ để $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)-3=m$ có nghiệm?
A. 8.
B. 6.
C. 9.
D. 7.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left( -10;10 \right)$ để $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)-3=m$ có nghiệm?
A. 8.
B. 6.
C. 9.
D. 7.
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}\Rightarrow t=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\Rightarrow t\ge 3$.
Để phương trình $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)-3=m\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)=m+3$ có nghiệm thì đường thẳng $y=m+3$ cắt đồ thị $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x\ge 3$.
Từ đồ thị ta được $m+3\le 2\Leftrightarrow m\le -1$.
Mà $m\in \left( -10;10 \right)\Rightarrow $ có 9 giá trị m thỏa mãn $\Rightarrow $ Chọn C.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $u=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}\Rightarrow u=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\Rightarrow u\ge 3$.
Khi đó $u'\left( x \right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}}\Rightarrow u'=0\Leftrightarrow x=-1$.
Bảng biến thiên của hàm số $u\left( x \right)$ :
Phương trình $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)-3=m\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)=m+3\Leftrightarrow f\left( u \right)=m+3$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và từ bảng biến thiên của hàm số $u=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}$ ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)=f\left( u \right)$ như sau:
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow f\left( u \right)=m+3$ với $u\ge 3$ có nghiệm khi $m+3\le 2\Leftrightarrow m\le -1$.
Mà $m\in \left( -10;10 \right)\Rightarrow $ có 9 giá trị m thỏa mãn.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}\Rightarrow t=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\Rightarrow t\ge 3$.
Để phương trình $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)-3=m\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)=m+3$ có nghiệm thì đường thẳng $y=m+3$ cắt đồ thị $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x\ge 3$.
Từ đồ thị ta được $m+3\le 2\Leftrightarrow m\le -1$.
Mà $m\in \left( -10;10 \right)\Rightarrow $ có 9 giá trị m thỏa mãn $\Rightarrow $ Chọn C.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $u=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}\Rightarrow u=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\Rightarrow u\ge 3$.
Khi đó $u'\left( x \right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}}\Rightarrow u'=0\Leftrightarrow x=-1$.
Bảng biến thiên của hàm số $u\left( x \right)$ :
Phương trình $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)-3=m\Leftrightarrow f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)=m+3\Leftrightarrow f\left( u \right)=m+3$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và từ bảng biến thiên của hàm số $u=\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}$ ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp $f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x+10} \right)=f\left( u \right)$ như sau:
Từ bảng biến thiên $\Rightarrow f\left( u \right)=m+3$ với $u\ge 3$ có nghiệm khi $m+3\le 2\Leftrightarrow m\le -1$.
Mà $m\in \left( -10;10 \right)\Rightarrow $ có 9 giá trị m thỏa mãn.
Đáp án C.