Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ: Có bao...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Đặt $t=\sqrt{x^2+2x+10}\Rightarrow t=\sqrt{{(x+1)}^2+9}\Rightarrow t\ge 3$.
Để phương trình $f\left(\sqrt{x^2+2x+10}\right)-3=m\iff f\left(\sqrt{x^2+2x+10}\right)=m+3$ có nghiệm thì đường thẳng $y=m+3$ cắt đồ thị $y=f\left(x\right)$ tại điểm có hoành độ $x\ge 3$.
Từ đồ thị ta được $m+3\le 2\iff m\le -1$.
Mà $m\in (-10;10)\Rightarrow$ có 9 giá trị m thỏa mãn $\Rightarrow$ Chọn C.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $u=\sqrt{x^2+2x+10}\Rightarrow u=\sqrt{{(x+1)}^2+9}\Rightarrow u\ge 3$.
Khi đó $u^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+10}}}\Rightarrow u^{\prime }=0\iff x=-1$.
Bảng biến thiên của hàm số $u\left(x\right)$ :

Phương trình $f\left(\sqrt{x^2+2x+10}\right)-3=m\iff f\left(\sqrt{x^2+2x+10}\right)=m+3\iff f\left(u\right)=m+3$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và từ bảng biến thiên của hàm số $u=\sqrt{x^2+2x+10}$ ta có bảng sau biến thiên của hàm hợp $f\left(\sqrt{x^2+2x+10}\right)=f\left(u\right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow f\left(u\right)=m+3$ với $u\ge 3$ có nghiệm khi $m+3\le 2\iff m\le -1$.
Mà $m\in (-10;10)\Rightarrow$ có 9 giá trị m thỏa mãn.