Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Để đồ thị hàm số $h\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+m \right|$ có số điểm cực trị ít nhất thì giá trị nhỏ nhất của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( -3; 0 \right)$
B. $\left( 0; 3 \right)$
C. $\left( 3; +\infty \right)$
D. $\left( -\infty ; -3 \right)$
A. $\left( -3; 0 \right)$
B. $\left( 0; 3 \right)$
C. $\left( 3; +\infty \right)$
D. $\left( -\infty ; -3 \right)$
Xét hàm số:
$g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+m\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+2{f}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+1 \right]$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)=-1\Leftrightarrow x=a \left( a<0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right)={{f}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)+m>m \\
& g\left( 3 \right)={{f}^{2}}\left( 3 \right)+f\left( 3 \right)+m=m \\
& g\left( a \right)={{f}^{2}}\left( a \right)+2f\left( a \right)+m\ge m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
$\Rightarrow h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+m \right|=\left| {{\left[ f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}+m-1 \right|$ có ít nhất 3 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ nằm phía trên trục Ox (kể cả trường hợp tiếp xúc với Ox)
$\Rightarrow m\ge 1\Rightarrow m=1$
$g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+m\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+2{f}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+1 \right]$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)=-1\Leftrightarrow x=a \left( a<0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right)={{f}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)+m>m \\
& g\left( 3 \right)={{f}^{2}}\left( 3 \right)+f\left( 3 \right)+m=m \\
& g\left( a \right)={{f}^{2}}\left( a \right)+2f\left( a \right)+m\ge m-1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
$\Rightarrow h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+m \right|=\left| {{\left[ f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}+m-1 \right|$ có ít nhất 3 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ nằm phía trên trục Ox (kể cả trường hợp tiếp xúc với Ox)
$\Rightarrow m\ge 1\Rightarrow m=1$
Đáp án B.