Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới...

Xét $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m,$ lập bảng biến thiên tìm số cực trị của y=g(x) .
Tìm điều kiện để $y=h\left( x \right)=g\left( \left| \left( x \right) \right| \right)$ có đúng 3 cực trị và kết luận.
Xét $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m,$ có $g'\left( x \right)=2f\left( x \right)f'\left( x \right)+f'\left( x \right)=f'\left( x \right)\left[ 2f\left( x \right)+1 \right].$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& 2f\left( x \right)+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
& x=a\left( a<0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right)={{f}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)+m \\
& g\left( 3 \right)=m \\
& g\left( a \right)=m-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.
Suy ra đồ thị hàm số $h\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|$ có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc)
Do đó $g\left( a \right)\ge 0\Leftrightarrow m-\dfrac{1}{4}\ge 0\Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{4}$
Chú ý:
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng điểm cực trị khi phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ phân biệt
$f'\left( u\left( x \right) \right)=u'\left( x \right).f\left( u \right)$